Question

已知x＞0，y＞0，z＞0，x+2y+3z=3，那么（x+

1

4y

）²+（2y+

1

6z

）²+（3z+

1

2x

）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：兩次利用柯西不等式即可得出．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，z＞0，x+2y+3z=3，
∴（1+1+1）[（x+

1

4y

）²+（2y+

1

6z

）²+（3z+

1

2x

）²]≥[(x+

1

4y

)+(2y+

1

6z

)+(3z+

1

2x

)]2=(3+

1

2x

+

1

4y

+

1

6z

)2，
∴（x+

1

4y

）²+（2y+

1

6z

）²+（3z+

1

2x

）²≥

1

3

(3+

1

2x

+

1

4y

+

1

6z

)2．①
同理有(2x+4y+6z)(

1

2x

+

1

4y

+

1

6z

)≥（1+1+1）²，∴

1

2x

+

1

4y

+

1

6z

≥

3

2

．②
由①②可得：（x+

1

4y

）²+（2y+

1

6z

）²+（3z+

1

2x

）²≥

1

3

(3+

3

2

)2=

27

4

．當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=3z=1時(shí)取等號(hào)．
∴（x+

1

4y

）²+（2y+

1

6z

）²+（3z+

1

2x

）²的最小值

27

4

．
故答案為：

27

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了柯西不等式的應(yīng)用，考查了推理能力和計(jì)算能力，正確變形利用柯西不等式是解題的關(guān)鍵，屬于難題．