【題目】已知無窮數(shù)列的各項都不為零,其前n項和為,且滿足,數(shù)列滿足,其中t為正整數(shù).

;

若不等式對任意都成立,求首項的取值范圍;

若首項是正整數(shù),則數(shù)列中的任意一項是否總可以表示為數(shù)列中的其他兩項之積?若是,請給出一種表示方式;若不是,請說明理由.

【答案】(1) .

(2) .

(3) 數(shù)列中的任意一項總可以表示為數(shù)列中的其他兩項之積.理由見解析.

【解析】

分析:(1),則,即,可得.又由的關(guān)系可得,從而數(shù)列是首項為,公差為1的等差數(shù)列,由此可得(2)可得數(shù)列是首項為,公差為1的等差數(shù)列;數(shù)列是首項為,公差為1的等差數(shù)列,由此可得然后由題意討論可得(3)(2)得數(shù)列的各項都是正整數(shù).假設(shè)結(jié)論成立,即,即,所以,取,取,故,不妨設(shè)是偶數(shù),則一定是整數(shù),討論可得不論為奇數(shù)還是偶數(shù),上式都有解,即假設(shè)成立.

詳解:(1)令,則,即,

,

所以;

,得,

兩式相減得

,

,

所以

(2)由(1)知數(shù)列是首項為,公差為1的等差數(shù)列;

數(shù)列是首項為,公差為1的等差數(shù)列.

所以

①當(dāng)時奇數(shù)時,,

對任意正奇數(shù)恒成立,

所以,

解得

②當(dāng)時偶數(shù)時,

,即對任意正偶數(shù)恒成立,

所以,

解得

綜合①②得

(3)由數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列;數(shù)列是首項為正整數(shù),公差為1的等差數(shù)列知,數(shù)列的各項都是正整數(shù).

設(shè),即,

所以,

,取

,

不妨設(shè)是偶數(shù),則一定是整數(shù),

故當(dāng)是偶數(shù)時,方程的一組解是

當(dāng)是奇數(shù)時,方程的一組解是

所以數(shù)列中的任意一項總可以表示為數(shù)列中的其他兩項之積.

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2)求證: 為線段中點;

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