Question

9．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足：①f（x+2）=f（x）；②當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=$\sqrt{2}$x，若P₁，P₂，…，P₂₀₁₆是f（x）在x∈[3，4]圖象上不同的2016個(gè)點(diǎn)，設(shè)A（-1，0），B（1，$\sqrt{2}$），m_i=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{P}_{i}}$（i=1，2，…，2016），則m₁+m₂+…+m₂₀₁₆=20160．

Answer 1

分析 由已知可得x∈[3，4]時(shí)，圖象線段CD的斜率為-$\sqrt{2}$，與AB垂直，根據(jù)向量垂直的充要條件，及向量加法的三角形法則，可得答案．

解答 解：∵A（-1，0），B（1，$\sqrt{2}$），
故直線AB的斜率k=$\frac{\sqrt{2}}{1+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足：①f（x+2）=f（x）；②當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=$\sqrt{2}$x，
∴x∈[3，4]時(shí)，x-4∈[-1，0]，4-x∈[0，1]，
此時(shí)f（4-x）=$\sqrt{2}$（4-x）=f（x-4）=f（x），
∴f（3）=$\sqrt{2}$，f（4）=0，
令C（3，$\sqrt{2}$），D（4，0），
即此時(shí)圖象線段CD的斜率為-$\sqrt{2}$，
故AB⊥CD．
∵P₁，P₂，…，P₂₀₁₆是f（x）在x∈[3，4]圖象線段CD上不同的2016個(gè)點(diǎn)，
∴m_i=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{A{P}_{i}}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{D{P}_{i}}$）=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=10，
∴m₁+m₂+…+m₂₀₁₆=20160，
故答案為：20160

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，向量垂直的充要條件，直線的位置關(guān)系，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)，幾何，向量的綜合應(yīng)用．