Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=10，a_n+1=

an-3，n＞3 -an+1，n≤3

．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（2）已知自大到小的3個正數(shù)b₁、b₂、b₃滿足b₁+b₂+b₃=21，b₁b₂+b₂b₃+b₃b₁=138，證明：當b₃≥a₃時，則有b₁≥a₁．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁=10，a₂=-10+1=-9，a_n=10-（n-3）×3=19-3n，n≥3，由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項和．
（2）由自大到小的3個正數(shù)b₁、b₂、b₃滿足b₁+b₂+b₃=21，b₁b₂+b₂b₃+b₃b₁=138，得b₃≥a₃=10，從而b₁＞b₃≥a₃=10=a₁，由此能證明b₁≥a₁．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=10，a_n+1=

an-3，n＞3 -an+1，n≤3

．
∴a₂=-10+1=-9，
a₃=9+1=10，
a₄=10-3=7，
a₅=10-2×3=4，
a₆=10-3×3=1，
a₇=-1+1=0，
a₈=-0+1=1，
a₉=-1+1=0，
…
∴S_n=

10，n=1 1，n=2 - 3 2 n2+ 35 2 n-28，n≥3

．
（2）證明：∵自大到小的3個正數(shù)b₁、b₂、b₃滿足b₁+b₂+b₃=21，b₁b₂+b₂b₃+b₃b₁=138，
b₃≥a₃=10，
∴b₁＞b₃≥a₃=10=a₁，
∴b₁≥a₁．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意遞推思想的合理運用．