Question

14．如題圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且過F₂的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQ⊥PF₁．
（Ⅰ）若|PF₁|=2+$\sqrt{2}$，|PF₂|=2-$\sqrt{2}$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF₁|，且$\frac{3}{4}$≤λ＜$\frac{4}{3}$，試確定橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由橢圓的定義可得：2a=|PF₁|+|PF₂|，解得a．設(shè)橢圓的半焦距為c，由于PQ⊥PF₁，利用勾股定理可得2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$，解得c．利用b²=a²-c²．即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）如圖所示，由PQ⊥PF₁，|PQ|=λ|PF₁|，可得|QF₁|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}|P{F}_{1}|$，由橢圓的定義可得：|PF₁|+|PQ|+|QF₁|=4a，解得|PF₁|=$\frac{4a}{1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}$．|PF₂|=2a-|PF₁|，由勾股定理可得：2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$，代入化簡．令t=1+λ$+\sqrt{1+{λ}^{2}}$，則上式化為e²=$8（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{2}$，解出即可．

解答 解：（I）由橢圓的定義可得：2a=|PF₁|+|PF₂|=（2+$\sqrt{2}$）+（2-$\sqrt{2}$）=4，解得a=2．
設(shè)橢圓的半焦距為c，∵PQ⊥PF₁，
∴2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$=$\sqrt{（2+\sqrt{2}）^{2}+（2-\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{3}$．
∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（II）如圖所示，由PQ⊥PF₁，|PQ|=λ|PF₁|，
∴|QF₁|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|PQ{|}^{2}}$=$\sqrt{1+{λ}^{2}}|P{F}_{1}|$，
由橢圓的定義可得：2a=|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|+|QF₂|，
∴|PF₁|+|PQ|+|QF₁|=4a，
∴$（1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}）$|PF₁|=4a，解得|PF₁|=$\frac{4a}{1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}$．
|PF₂|=2a-|PF₁|=$\frac{2a（λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}-1）}{1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}$，
由勾股定理可得：2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$，
∴$（\frac{4a}{1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}）^{2}$+$[\frac{2a（λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}-1）}{1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}]^{2}$=4c²，
∴$\frac{4}{（1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}）^{2}}$+$\frac{（λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}-1）^{2}}{（1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}）^{2}}$=e²．
令t=1+λ$+\sqrt{1+{λ}^{2}}$，則上式化為${e}^{2}=\frac{4+（t-2）^{2}}{{t}^{2}}$=$8（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{2}$，
∵t=1+λ$+\sqrt{1+{λ}^{2}}$，且$\frac{3}{4}$≤λ＜$\frac{4}{3}$，
∴t關(guān)于λ單調(diào)遞增，∴3≤t＜4．∴$\frac{1}{4}＜\frac{1}{t}≤\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{2}＜{e}^{2}≤\frac{5}{9}$，解得$\frac{\sqrt{2}}{2}＜e≤\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴橢圓離心率的取值范圍是$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{5}}{3}]$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理、不等式的性質(zhì)、“換元法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．