Question

6．如圖，橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點P（0，1）在短軸CD上，且$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-1
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A、B兩點．是否存在常數λ，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$、$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-1，計算即得a=2、b=$\sqrt{2}$，進而可得結論；
（Ⅱ）分情況對直線AB斜率的存在性進行討論：①當直線AB的斜率存在時，聯立直線AB與橢圓方程，利用韋達定理計算可得當λ=1時$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3；②當直線AB的斜率不存在時，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3．

解答 解：（Ⅰ）根據題意，可得C（0，-b），D（0，b），
又∵P（0，1），且$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-^{2}=-1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）結論：存在常數λ=1，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值-3．
理由如下：
對直線AB斜率的存在性進行討論：
①當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+1，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，消去y并整理得：（1+2k²）x²+4kx-2=0，
∵△=（4k）²+8（1+2k²）＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
從而$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x₁x₂+y₁y₂+λ[x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）]
=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{（-2λ-4）{k}^{2}+（-2λ-1）}{1+2{k}^{2}}$
=-$\frac{λ-1}{1+2{k}^{2}}$-λ-2．
∴當λ=1時，-$\frac{λ-1}{1+2{k}^{2}}$-λ-2=-3，
此時$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3為定值；
②當直線AB的斜率不存在時，直線AB即為直線CD，
此時$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=-2-1=-3；
故存在常數λ=1，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值-3．

點評 本題考查橢圓的標準方程、直線方程等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合、化歸與轉化、特殊與一般、分類與整合等數學思想，注意解題方法的積累，屬于難題．