Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，判斷命題“若f（2）≥f（e），則a＜0”的真假．并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）=ax+lnx的減區(qū)間，結(jié)合f（2）≥f（e），得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍可得命題“若f（2）≥f（e），則a＜0”的真假．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax+lnx，命題“若f（2）≥f（e），則a＜0”為假．
證明：∵f（x）=ax+lnx，
∴f′（x）=$\frac{ax+1}{x}$（x＞0），
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＜0，解得x＞-$\frac{1}{a}$，
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，+∞），
∵f（2）≥f（e），∴f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，
則$-\frac{1}{a}＜2$，即$a＜-\frac{1}{2}$．
∴若f（2）≥f（e），則a＜$-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．