Question

3．已知函數(shù)f（x）=1+$\frac{a}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$，且曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y+4=0平行．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{f（x）}{2{e}^{x-1}}$＞$\frac{e+1}{x{e}^{x}+1}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件，可得a=1；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，再令g（x）=x-lnx，求出導(dǎo)數(shù)，求得最小值，即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）由題意可得f（x）＞$\frac{2（e+1）{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$恒成立，分別求出f（x），h（x）=$\frac{2（e+1）{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$的取值范圍，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=1+$\frac{a}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為-a+1+1=2-a，
切線與直線x-y+4=0平行，可得2-a=1，解得a=1；
（2）f（x）=1+$\frac{1}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$的
的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
由g（x）=x-lnx的導(dǎo)數(shù)為1-$\frac{1}{x}$，當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）遞減，可得g（x）≥g（1）=1，
則x-lnx＞0，即f（x）在（0，+∞）遞增；
（3）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{f（x）}{2{e}^{x-1}}$＞$\frac{e+1}{x{e}^{x}+1}$，即為：
f（x）＞$\frac{2（e+1）{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$恒成立，
由（2）可得f（x）在x＞1遞增，即有f（x）＞f（1）=2；
由h（x）=$\frac{2（e+1）{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=-2（e+1）•$\frac{{e}^{2x-1}}{（1+x{e}^{x}）^{2}}$＜0，
即h（x）在x＞1遞減，即有h（x）＜h（1）=2，
則當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{f（x）}{2{e}^{x-1}}$＞$\frac{e+1}{x{e}^{x}+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．