Question

7．定義在R上的可導函數(shù)f（x），且f（x）圖象連續(xù)不斷，f′（x）是f（x）的導數(shù)，當x≠0時，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，則哈數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$的零點的個數(shù)（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 0或2

Answer 1

分析 由題意可得得$\frac{x{f}^{′}（x）+f（x）}{x}$＞0，進而可得函數(shù)xf（x）單調性，而函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$=$\frac{xf（x）+1}{x}$，的零點個數(shù)等價為函數(shù)y=xf（x）+1的零點個數(shù)，
可得y=xf（x）+1＞1，無零點

解答 解：由f'（x）+x^-1f（x）＞0，得$\frac{x{f}^{′}（x）+f（x）}{x}$＞0，
當x＞0時，xf'（x）+f（x）＞0，即[xf（x）]'＞0，函數(shù)xf（x）單調遞增；
當x＜0時，xf'（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]'＜0，函數(shù)xf（x）單調遞減．
又g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$=$\frac{xf（x）+1}{x}$，函數(shù)g（x）=$\frac{xf（x）+1}{x}$的零點個數(shù)等價為函數(shù)y=xf（x）+1的零點個數(shù)．
當x＞0時，y=xf（x）+1＞1，當x＜0時，y=xf（x）+1＞1，所以函數(shù)y=xf（x）+1無零點，
所以函數(shù)g（x）=f（x）+x^-1的零點個數(shù)為0個，
故選：A．

點評 本題考查根的存在性及根的個數(shù)的判斷，涉及函數(shù)的單調性，屬中檔題，關鍵是構造函數(shù)g（x）=xf（x）+1