Question

已知點 E（-2，0），F(xiàn)（2，0），曲線C上的動點M滿足

ME

•

MF

=-3，定點A（2，1），由曲線C外一點P（a，b）向曲線C引切線PQ，切點為Q，且 滿足|PQ|=|PA|．
（1）求圓C的標準方程；
（2）求線段|PQ|長的最小值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用,圓的標準方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)M（x，y），利用曲線C上的動點M滿足

ME

•

MF

=-3，化簡，即可求圓C的標準方程；
（2）先確定b=-2a+3，再求線段|PQ|長的最小值．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），則

EM

=(x+2，y)，

FM

=(x-2，y)，
∴

EM

•

FM

=(x+2，y)•(x-2，y)=x2-4+y2=-3…（5分）
即M點軌跡（曲線C）方程為x²+y²=1，即曲線C是⊙O．
（2）連OP，∵Q為切點，PQ⊥OQ，由勾股定理有：|PQ|²=|OP|²-|OQ|²．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|²=|PA|²．
即：（a²+b²）-1²=（a-2）²+（b-1）²，
化簡得實數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系為：2a+b-3=0，即b=-2a+3．
∴|PQ|=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故當a=

6

5

時，|PQ|min=

2

5

5

．
即線段PQ長的最小值為

2

5

5

．…（14分）

點評：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．