Question

已知關(guān)于x的不等式：

ax-2

x-1

＞1
（Ⅰ）若a=3，解該不等式；
（Ⅱ）若a＞0，解該不等式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，原不等式即：

3x-2

x-1

＞1，即

2x-1

x-1

＞0，由此解得x的范圍．
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式可化為（x-

1

a-1

 ）•（x-1）＞0．當(dāng)a=1時(shí)，易求其解集；當(dāng)a＞1時(shí)，根據(jù)

1

a-1

大于1、
等于1、小于1三種情況，分別求出原不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，原不等式即：

3x-2

x-1

＞1，即

2x-1

x-1

＞0，
即（2x-1）（x-1）＞0，解得 x＜

1

2

或x＞1． 故解集為{ x|x＜

1

2

或x＞1}． …（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式可化為：

(a-1)x-1

x-1

＞0，
（1）若a=1時(shí)，原不等式即

1

x-1

＜0，不等式的解集為{x|x＜1}． …（5分）
（2）若a＞1時(shí)，原不等式可化為

x- 1 a-1

x-1

＞0，即 （x-

1

a-1

 ）（x-1）＞0，
    故①當(dāng)1＜a＜2時(shí)，有

1

a-1

＞1，原不等式的解集為{x|x＜1或x＞

1

a-1

}．
    ②當(dāng)a=2時(shí)，原不等式即

x-1

x-1

＞0，不等式的解集為{x|x≠1}．
    ③當(dāng)a＞2時(shí)，

1

a-1

＜1，原不等式的解集為{x|x＜

1

a-1

或x＞1}．…（10分）
（3）當(dāng)1＞a＞0時(shí)，原不等式

(a-1)x-1

x-1

＞0可化為

x- 1 a-1

x-1

＜0，
即 （x-

1

a-1

 ）（x-1）＜0，由于

1

a-1

＜1，
故原不等式的解集為 {x|1＞x＞

1

a-1

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式不等式，體現(xiàn)分類(lèi)討論與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，注意分類(lèi)的層次，屬于中檔題．