Question

【題目】在如圖（1）所示的四邊形中，，，，.將沿折起，使二面角為直二面角（如圖（2）），為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)由題意可得平面，故 . 以為坐標原點，分別以，，為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系，明確平面BOP的法向量與AD的方向向量，利用二者共線，即可證得；

（2）求出平面的法向量，利用法向量的夾角余弦即可得到二面角的余弦值.

（1）證明：由題，知，.

又∵二面角為直二面角，∴平面.

又∵平面，∴.

以為坐標原點，分別以，，為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系.

∵，，，

∴由平面幾何知識，可得，，，，.

∵為的中點，∴.

設(shè)平面的法向量為.

∴即

令，則.∴.

又∵，∴.

∴平面.

（2）解：設(shè)為中點，連接，如圖.

∵平面，平面，

∴平面平面，交線為.

又∵為等邊三角形，∴.

又∵平面.∴平面.∴是平面的法向量.

∵，

∴.

∵，

∴二面角的余弦值為.