Question

已知集合M={x|

1

2

≤x≤3}，函數(shù)g（x）=b^x，f（x）=ln（ax²-2x+b），若函數(shù)f（x）的定義域為N，且M∩N=[

1

2

，

2

3

），M∪N=（-2，3]
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求關(guān)于x的方程g（x）+g（-|x|）=2的實數(shù)解．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)集合關(guān)系，求出集合N，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，建立條件關(guān)系，即可求求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）化簡方程，根據(jù)指數(shù)冪的性質(zhì)，解指數(shù)方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵M(jìn)={x|

1

2

≤x≤3}，且M∩N=[

1

2

，

2

3

），M∪N=（-2，3]
∴N=[-2，

2

3

]，
即不等式ax²-2x+b＞0解得即為N，由題意N=[-2，

2

3

]，
則-2，

2

3

是對應(yīng)方程ax²-2x+b=0的兩個根，
則-2+

2

3

=

2

a

，-2•

2

3

=

b

a

，
解得b=2，a=-

3

2

（Ⅱ）∵g（x）+g（-|x|）=2^x+2^-|x|=2，
∴當(dāng)x≥0時，2^x+2^-x=2，即2^x=1，即x=0；
當(dāng)x＜0時，2^x+2^x=2即2^x=1，無解，
∴x=0．

點評：本題主要考查集合的基本運算，以及與指數(shù)和對數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問題．