Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-1，若關于x的方程|f（x）|²+m|f（x）|+2m+3=0在（0，+∞）上有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 令|f（x）|=t，t∈[0，+∞），由題意可知，方程t²+mt+2m+3=0在（0，1]和（1，+∞）上各有一解．令h（t）=t²+mt+2m+3，再分t=0，t＞0，運用參數(shù)分離和基本不等式，分別求出m的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 解：當x∈（0，+∞）時，f（x）=x²-1∈（-1，+∞），
令t=|f（x）|（t≥0），
則方程|f（x）|²+m|f（x）|+2m+3=0可化為：t²+mt+2m+3=0，
由題意可知，方程t²+mt+2m+3=0在[0，+∞）上有兩個不同的解．
令h（t）=t²+mt+2m+3．
當t=0時，顯然2m+3=0，解得m=-$\frac{3}{2}$，
進而得到t=0或$\frac{3}{2}$，x=1或x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$成立；
當t＞0時，由-m=$\frac{{t}^{2}+3}{t+2}$=（t+2）+$\frac{7}{t+2}$-4，（t+2＞2），
由（t+2）+$\frac{7}{t+2}$-4的最小值為2$\sqrt{7}$-4，又t=0時，可得（t+2）+$\frac{7}{t+2}$-4=$\frac{3}{2}$，
則2$\sqrt{7}$-4＜-m＜$\frac{3}{2}$，解得-$\frac{3}{2}$＜m＜4-2$\sqrt{7}$，
綜上可得，實數(shù)m的取值范圍為[-$\frac{3}{2}$，4-2$\sqrt{7}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點與方程根的關系，關鍵是換元法的利用，屬于中檔題．