Question

已知曲線f（x）=ln（2-x）+ax在點（0，f（0））處的切線斜率為

1

2

．
（1）求f（x）的極值；
（2）設g（x）=f（x）+kx，若g（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若數(shù)列{a_n}滿足a₁∈（0，1），a_n+1=f（a_n），求證：對一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)負數(shù)沒有對數(shù)得到f（x）的定義域，求出f（x）的導函數(shù)，把x等于0代入導函數(shù)求出的函數(shù)值為曲線在已知點處的切線方程的斜率，讓其等于已知的斜率表示出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入到導函數(shù)中，令導函數(shù)等于0求出x的值，然后利用x的值在f（x）的定義域上討論導函數(shù)的正負即可得到函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的極值；（2）求出g（x）的導函數(shù)，因為g（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，所以導函數(shù)在（-∞，1）上恒大于等于0，列出關于k的不等式，解出k恒大于等于一個關于x的關系式，利用定義域求出關系式的范圍得到關系式的最大值，讓k大于等于這個最大值即可得到k的范圍；（3）利用數(shù)學歸納法證明，方法是：當n=1時，顯然成立；假設當n=k時成立，證明n=k+1也成立，即可得證．

解答：解：（1）f（x）的定義域是（-∞，2），f′(x)=

1

x-2

+a，
由題知f′(0)=-

1

2

+a=

1

2

，∴a=1∴f′(x)=

1

x-2

+1=

x-1

x-2

令f'（x）=0，得x=1，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表所示：

所以f（x）在x=1處取得極大值1，無極小值；
（2）g(x)=ln(2-x)+(k+1)x，g′(x)=

1

x-2

+(k+1)，
由題知g'（x）≥0在（-∞，1）上恒成立，即k≥

1

2-x

-1在（-∞，1）上恒成立，
∴x＜1，∴2-x＞1，∴0＜

1

2-x

＜1，
∴-1＜

1

2-x

-1＜0，∴k≥0，
即實數(shù)k的取值范圍是[0，+∞）；
（3）a_n+1=f（a_n）=ln（2-a_n）+a_n
（i）當n=1時，由題意知0＜a₁＜1；
（ii）假設n=k時，有0＜a_k＜1，
則n=k+1時，∵a_k+1=f（a_k），f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴f（0）＜f（a_k）＜f（1）
即f（0）＜a_k+1＜f（1），即ln2＜a_k+1＜1，
又ln2＞0
∴0＜a_k+1＜1，即n=k+1時，求證的結論也成立
由（i）（ii）可知對一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的增減性并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，會利用數(shù)學歸納法進行證明，是一道綜合題．