Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax+b）在點（0，f（0））處的切線方程為6x+y+4=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）=k（k∈R）有三個實根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax+b）在點（0，f（0））處的切線方程為6x+y+4=0列式求得a，b的值，再由導函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-k，利用導數(shù)求出其極大值和極小值，由極大值大于0且極小值小于0求得k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x（x²+ax+b），
∴f′（x）=e^x（x²+ax+b）+e^x（2x+a）=e^x（x²+2x+ax+a+b）．
由f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為6x+y+4=0．
得

f′(0)=a+b=-6 f(0)=b=-4

，解得：a=-2，b=-4．
∴f（x）=e^x（x²-2x-4），
∵f′（x）=e^x（x²-6）．
由f′（x）＞0，得x＜-

6

或x＞

6

．
由f′（x）＜0，得-

6

＜x＜

6

．
∴原函數(shù)的增區(qū)間：(-∞，-

6

)，(

6

，+∞)；減區(qū)間：(-

6

，

6

)．
（Ⅱ）∵f（x）=e^x（x²-2x-4），
令g（x）=f（x）-k=e^x（x²-2x-4）-k，
則g′（x）=e^x（x²-6），
由g′（x）=0，得x=±

6

．
當x∈(-∞，-

6

)，(

6

，+∞)時，f′（x）＞0．
當x∈(-

6

，

6

)時，f′（x）＜0．
∴g（x）的極大值為g(-

6

)=e-

6

(6+2

6

-4)-k＞0，
則k＜e-

6

(2+2

6

)．
g（x）的極小值為g(

6

)=e

6

(6-2

6

-4)-k＜0，
則k＞e

6

(2-2

6

)．
綜上，使方程f（x）=k（k∈R）有三個實根的實數(shù)k的取值范圍是(e

6

(2-2

6

)，e-

6

(2+2

6

))．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的極值，訓練了函數(shù)構(gòu)造法，是高考試卷中的壓軸題．