Question

已知動點M到定點（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．
（Ⅰ）求點M的軌跡曲線C的方程；
（Ⅱ）大家知道，過圓上任意一點P，任意作兩條相互垂直的弦PA，PB，則弦AB必過圓心（定點），受此啟發(fā)，過曲線C上一點P，任意作兩條相互垂直的弦PA，PB．
（�。┤酎cP恰好是曲線C的頂點，則弦AB是否經(jīng)過一個定點？若經(jīng)過定點（設(shè)為Q），請求出Q點的坐標，否則說明理由；
（ⅱ）試探究：若改變曲線C的開口，且點P不是曲線C的頂點，（ⅰ）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出一個使（ⅰ）中的結(jié)論成立的命題，并加以證明，否則說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義，可求點M的軌跡曲線C的方程；
（Ⅱ）（i）求出A，B的坐標，可得直線AB的方程，令y=0，可得直線AB必過定點Q（4，0）；
（ⅱ）過拋物線y²=2px上頂點以外的定點P任作兩條相互垂直的弦PA，PB，則弦AB必過定點．假設(shè)AB過定點Q（a，b），

y1-b

y12 2p -a

=

y2-b

y22 2p -a

化簡得y₁y₂-b（y₁+y₂）+2pa=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）M到定點（1，0）的距離等于到定直線x=-1的距離，
∴軌跡為拋物線…（2分）
軌跡方程為y²=4x…（3分）
（Ⅱ）（i）依題意得設(shè)OA：y=kx，（k≠0），此時OB：y=-

1

k

x
由

y=kx y2=4x

得A(

4

k2

，

4

k

)，…（5分）
同理B（4k²，-4k）…（6分）
因此AB方程為y+4k=

4 k +4k

4 k2 -4k2

(x-4k2)
即y+4k=

1

1 k -k

(x-4k2)…（7分）
令y=0得4k(

1

k

-k)=x-4k2，∴x=4，
∴直線AB必過定點Q（4，0）…（8分）
（ii）結(jié)論：過拋物線y²=2px上頂點以外的定點P任作兩條相互垂直的弦PA，PB，則弦AB必過定點．
設(shè)點P（x₀，y₀）為y²=2px上一定點（非原點），則y02=2px0
過P作互相垂直的弦PA，PB
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y12=2px1，y22=2px2，
∴

y1-y0

x1-x0

•

y2-y0

x2-x0

=-1，
∴

y1-y0

y12 2p - y02 2p

•

y2-y0

y22 2p - y02 2p

=-1，
化簡得(y1+y0)(y2+y0)=-4p2即y1y2+y0(y1+y2)+y02+4p2=0（*）…（10分）
假設(shè)AB過定點Q（a，b），則有

y1-b

x1-a

=

y2-b

x2-a

即

y1-b

y12 2p -a

=

y2-b

y22 2p -a

化簡得y₁y₂-b（y₁+y₂）+2pa=0（**）…（12分）
比較（*）、（**）得a=2p+x₀，b=-y₀，
∴過定點Q（x₀+2p，-y₀）…（13分）

點評：本題主要考查拋物線的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運算求解能力及創(chuàng)新意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想以及特殊與一般思想．