已知三點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（0，-1），C（cosa，sina），其中a∈（0，π）．
（1）若|
AC
|=|
BC
|，求角a的值．
（2）若
AC
•
BC
=
2
3
，求
2sin2a+sin2a
1+tana
的值．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）
AC
=(cosα-1，sinα)，
BC
=(cosα，sinα+1)，由|
AC
|=|
BC
|，推導(dǎo)出sinα=cosα，由此能求出α=
π
4
．
（2）由
AC
•
BC
=
2
3
，推導(dǎo)出cosα-sinα=
1
3
，從而得到2sinαcosα=
8
9
，再由
2sin2a+sin2a
1+tana
=
2sinα(sinα+cosα)
cosα+sinα
cosα
，能求出結(jié)果．
解答： 解：（1）∵A（1，0），B（0，-1），C（cosa，sina），a∈（0，π）．
∴
AC
=(cosα-1，sinα)，
BC
=(cosα，sinα+1)，
∵|
AC
|=|
BC
|，
∴（cosα-1）2+sin2α=cos2α+（sinα+1）2，
整理，得sinα=cosα，
∵a∈（0，π），∴α=
π
4
．
（2）∵
AC
•
BC
=
2
3
，
∴cosα•（cosα-1）+sinα•（sinα+1）
=cos2α-cosα+sin2α+sinα
=1-cosα+sinα=
2
3
，
∴cosα-sinα=
1
3
，
∴1-2sinαcosα=
1
9
，∴2sinαcosα=
8
9
，
∴
2sin2a+sin2a
1+tana
=
2sinα(sinα+cosα)
cosα+sinα
cosα

=2sinαcosα=
8
9
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查角的大小的求法，考查三角函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量知識(shí)的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

等差數(shù)列{an}，an=2n-1，等比數(shù)列{bn}，bn=2n-1，求{anbn}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡曲線C的方程；
（Ⅱ）大家知道，過(guò)圓上任意一點(diǎn)P，任意作兩條相互垂直的弦PA，PB，則弦AB必過(guò)圓心（定點(diǎn)），受此啟發(fā)，過(guò)曲線C上一點(diǎn)P，任意作兩條相互垂直的弦PA，PB．
（�。┤酎c(diǎn)P恰好是曲線C的頂點(diǎn)，則弦AB是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（設(shè)為Q），請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說(shuō)明理由；
（ⅱ）試探究：若改變曲線C的開口，且點(diǎn)P不是曲線C的頂點(diǎn)，（�。┲械慕Y(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出一個(gè)使（ⅰ）中的結(jié)論成立的命題，并加以證明，否則說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x2-4x-5|，若在區(qū)間（-1，5）上，y=kx+3k的圖象位于函數(shù)f（x）的上方，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5=9，S10=100
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{
Sn
n
}的前n項(xiàng)和為Tn，數(shù)列{
1
Sn+1-Tn+1
}的前n項(xiàng)和為Un，求證：Un＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3），對(duì)稱軸為x=2，且方程f（x）=0的兩實(shí)根平方和為10．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=
1+x
1-x
+lgf（x）的定義域?yàn)镸，求M；
（Ⅲ）求h（x）=m×2x+2+3×4x（m＞-3）在x∈M時(shí)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=a，E和F分別是A1B1和C1D1的中點(diǎn)，求：
（1）找出與AB1異面的所有棱；
（2）AC和B1C1所成角的余弦值；
（3）EB和FD所成角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=
2
，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則|CP|+|PA1|的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

請(qǐng)用柯西不等式求解．已知a、b、x、y都是正實(shí)數(shù)，且
a
x
+
b
y
=1，則x+y的最小值為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案