Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點A（0，1）和B（-1，0），且b²-4a≤0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）A，B兩點的坐標(biāo)帶入函數(shù)f（x）便可得到c=1，b=a+1，而將b=a+1帶入b²-4a≤0即可求得a=1，b=2，所以便得到f（x）=x²+2x+1；
（2）先求出g（x）=x²+（2-k）x+1，而根據(jù)g（x）在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，便可得到-

2-k

2

≤-2，或-

2-k

2

≥2，解不等式即得k的取值范圍．

解答： 解：（1）由題設(shè)得：f（0）=c=1，f（-1）=a-b+1=0，b=a+1；
代入b²-4a≤0，得（a+1）²-4a≤0，即（a-1）²≤0，解得a=1，b=2；
所以f（x）=x²+2x+1；
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1；
因為當(dāng)x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)；
所以-

2-k

2

≤-2或-

2-k

2

≥2；
解得，k≤-2，或≥6；
∴實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-2]∪[6，+∞）．

點評：考查函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)和函數(shù)解析式的關(guān)系，完全平方式，以及二次函數(shù)的單調(diào)性．