Question

如圖，過函數(shù)f（x）=log_cx（c＞1）的圖象上的兩點A，B作x軸的垂線，垂足分別為M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），線段BN與函數(shù)g（x）=log_mx，（m＞c＞1）的圖象交于點C，且AC與x軸平行．
（1）當a=2，b=4，c=3時，求實數(shù)m的值；
（2）當b=a²時，求

m

b

-

2c

a

的最小值；
（3）已知h（x）=a^x，φ（x）=b^x，若x₁，x₂為區(qū)間（a，b）內(nèi)任意兩個變量，且x₁＜x₂，求證：h[f（x₂）]＜φ[f（x₁）]．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過a=2，b=4，c=3時，求出ABC坐標，利用AC與x軸平行，列出方程，即可求實數(shù)m的值；
（2）通過ABC坐標，利用平行關(guān)系得到方程，通過當b=a²時，化簡

m

b

-

2c

a

為二次函數(shù)的形式，即可求解表達式的最小值；
（3）通過h（x）=a^x，φ（x）=b^x，若x₁，x₂為區(qū)間（a，b）內(nèi)任意兩個變量，且x₁＜x₂，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及對數(shù)的運算法則，即可證明：h[f（x₂）]＜φ[f（x₁）]．

解答： （1）解：由題意得A（2，log₃2），B（4，log₃4），C（4，log_m4）
因為AC與x軸平行
所以log_m4=log₃2
所以m=9
（2）解：由題意得A（a，log_ca），B（b，log_cb），C（b，log_mb）
因為AC與x軸平行
所以log_mb=log_ca
因為b=a²，所以m=c²
所以

m

b

-

2c

a

=

c2

a2

-

2c

a

=(

c

a

-1)2-1
所以

c

a

=1時，達到最小值-1
（3）證明：因為a＜x₁＜x₂＜b，且c＞1
所以log_ca＜log_cx₁＜log_cx₂＜log_cb
又因為a＞1，b＞1
所以alogcx2＜alogcb，blogca＜blogcx1
又因為log_cblog_ca=log_calog_cb
所以logcalogcb=logcblogca
所以alogcb=blogca
所以alogcx2＜blogcx1
即h[f（x₂）]＜φ[f（x₁）]．

點評：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)的運算性質(zhì)，考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，是中檔題．