Question

5．已知點F的坐標為（0，$\frac{3}{2}$），動圓P經過點F且和直線y=-$\frac{3}{2}$相切．
（1）求動圓P的圓心軌跡W的方程；
（2）過點F的直線1，交軌跡W于A、B兩點，若|AB|=12，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由動圓圓心P到F的距離等于P到y(tǒng)=$\frac{3}{2}$的距離，知P點的軌跡是拋物線，由此能求出動圓P的圓心軌跡W的方程．
（2）設直線方程為x=my-$\frac{3}{2}$m，代入x²=6y，整理，可得m²y²-（3m²+6）y+$\frac{9}{4}$m²=0，利用線段AB的長為12，求出m，即可求l的方程．

解答 解：（1）動圓圓心P到F的距離等于P到y(tǒng)=$\frac{3}{2}$的距離，
則P點的軌跡是拋物線，且p=3，
所以x²=6y為動圓P的圓心軌跡W的方程．
（2）設直線方程為x=my-$\frac{3}{2}$m，
代入x²=6y，整理，可得m²y²-（3m²+6）y+$\frac{9}{4}$m²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則y₁+y₂=3+$\frac{6}{{m}^{2}}$，
因為|AB|=12，
所以3+$\frac{6}{{m}^{2}}$+3=12，
所以m=±1，
所以直線l的方程為x-y+$\frac{3}{2}$=0或x+y-$\frac{3}{2}$=0．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．