Question

設(shè)f（x）=

1

4

x²+

1

2

x-

3

4

，正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=f（a_n），（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2對(duì)一切n∈N^*都成立，求{b_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

，所以當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

an2+

1

2

an-

1

4

an-12-

1

2

an-1，從而得a_n-a_n-1=2（n≥2），由此能求出a_n=2n+1．
（2）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2，得a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=2ⁿ（2n-3）+2，兩式相減得，a_nb_n=（2n+1）•2ⁿ，由此能求出b_n=2ⁿ．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

4

x²+

1

2

x-

3

4

，正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=f（a_n），
∴Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

an2+

1

2

an-

1

4

an-12-

1

2

an-1，
整理，得a_n-a_n-1=2（n≥2），
∵a1=S1=

1

4

a12+

1

2

a1-

3

4

，解得a₁=3或a₁=-1（舍）
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
∴a_n=2n+1．
（2）∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=2ⁿ（2n-3）+2，
兩式相減得，a_nb_n=（2n+1）•2ⁿ，
∵a_n=2n+1，∴b_n=2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意常規(guī)解法的靈活運(yùn)用．