Question

證明：形如8n+7的數(shù)不可能是三個(gè)整數(shù)的平方和．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專題：綜合題,反證法

分析：利用反證法證明，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：假設(shè)存在任意正整數(shù)n，使8n+7是三個(gè)正整數(shù)的平方和即設(shè)三個(gè)整數(shù)分別為x，y，z，
則有：x²+y²+z²=8n+7
x²+y²+z²=2﹙4n+3）+1①
x，y，z中，必有一個(gè)奇數(shù)兩個(gè)偶數(shù)，令x=2a+1，y=2b，z=2c
則4a²+4a+1+4b²+4c²=2﹙4n+3﹚+14﹙a²+a+b²+c²﹚=2﹙4n+3﹚2﹙a²+a+b²+c²﹚=4n+3
即：一個(gè)奇數(shù)等于另一個(gè)偶數(shù)，矛盾②
x，y，z都是奇數(shù)，令x=2a+1，y=2b+1，z=2c+1，
則4﹙a²+b²+c²+a+b+c+

1

2

﹚+1=2﹙4n+3﹚+1
4﹙a²+b²+c²+a+b+c+

1

2

﹚=2﹙4n+3﹚，
所以2﹙a²+b²+c²+a+b+c+

1

2

﹚=4n+3，
所以2﹙a²+b²+c²+a+b+c﹚=4n+2
所以a²+b²+c²+a+b+c=2n+1，
a，b，c都是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)，2n+1是奇數(shù)即：一個(gè)奇數(shù)等于另一個(gè)偶數(shù)，矛盾
綜上所述：8n+7不可能是三個(gè)整數(shù)的平方和

點(diǎn)評(píng)：本題考查反證法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度．