Question

定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），且當(dāng)2≤x≤6時(shí)，f（x）=（

1

2

）^|x-m|+n．
（Ⅰ）若f（4）=31，求m，n的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，比較f（log₃m）與f（log₃n）的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的周期性,對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的奇偶性和周期性進(jìn)行求值即可．
（Ⅱ）表示出f（log₃m），f（log₃n）再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．

解答： 解（Ⅰ）∵f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），
∴f（x）=f（4-x）=f（x-4），
即f（4+x）=f（x），
即4是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
∴f（2）=f（6），
即（

1

2

）^|2-m|+n=（

1

2

）^|6-m|+n．
∴|2-m|=|6-m|，解得m=4，
又f（4）=31，
∴f（4）=（

1

2

）^|4-4|+n=1+n=31，
解得n=30．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=（

1

2

）^|x-4|+30．x∈[2，6]．
因?yàn)?＜log₃4＜2，所以5＜log₃4+4＜6．
f（log₃m）=f（log₃4）=f（log₃4+4）=（

1

2

）^|log34|+30．
又因?yàn)?＜log₃30＜4，
f（log₃n）=f（log₃30）=）=（

1

2

）^|log₃30-4|+30=（

1

2

）log3

81

30

+30，
∵log3

81

30

＜log₃4，
由函數(shù)y=(

1

2

)x為減函數(shù)，
∴f（log₃m）＜f（log₃n）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的周期性，單調(diào)性以及用方程思想?yún)��?shù)的值．