Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知c=1，C=

π

6

．
（Ⅰ）若a=

3

，求b的值；
（Ⅱ）求cosAcosB的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，c，以及C度數(shù)代入，即可求出b的值；
（Ⅱ）由C的度數(shù)得到A+B的度數(shù)，用A表示出B代入cosAcosB中，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵c=1，C=

π

6

，a=

3

，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，即1=3+b²-3b，
整理得：b²-3b+2=0，
解得：b=1或b=2；
（Ⅱ）cosAcosB=cosA•cos（

5π

6

-A）
=cosA（-

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=-

3

2

cos²A+

1

2

sinAcosA
=-

3

4

+

1

4

sin2A-

3

4

cos2A
=-

3

4

+

1

2

sin（2A-

π

3

），
∵0＜A＜

5π

6

，即-

π

3

＜2A-

π

3

＜

4π

3

，
∴-

3

2

＜sin（2A-

π

3

）≤1，
則cosAcosB的取值范圍是（-

3

2

，

1

2

-

3

4

]．

點評：此題考查了余弦定理，以及兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．