Question

已知m∈R，函數(shù)f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（Ⅰ）若m=-1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)的導函數(shù)，然后研究導函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)的極值點，代入函數(shù)解析式即可求出極值；
（Ⅱ）令f（x）=0，得（x²+mx+m）•e^x=0，所以x²+mx+m=0，根據(jù)函數(shù)f（x）沒有零點，可得△=m²-4m＜0，從而可求實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得f'（x）=（x+2）（x-1）e^x，
令f'（x）=0得x=-2或x=1，…（2分）x，f（x），f'（x）的關系列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（-2）為極大值	↘	f（1）為極小值	↗

由表可得，f（x）在x=-2取到極大值f（-2）=

5

e2

，f（x）在x=-1取到極小值f（1）=-e．…（8分）
（Ⅱ）令f（x）=0，得（x²+mx+m）•e^x=0，所以x²+mx+m=0．…（9分）
因為函數(shù)f（x）沒有零點，所以△=m²-4m＜0，…（11分）
所以0＜m＜4．…（12分）

點評：本題以函數(shù)為載體，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)研究函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知函數(shù)，求出函數(shù)的導函數(shù)是解答此類問題的關鍵．