Question

已知m∈R，函數(shù)f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（1）若函數(shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）存在極大值，并記為g（m），求g（m）的表達(dá)式；
（3）當(dāng)m=0時(shí)，求證：f（x）≥x²+x³．

Answer 1

分析：（1）若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的方程（x²+mx+m）e^x=0沒(méi)有實(shí)根，根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)，我們易將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程根的個(gè)數(shù)判斷問(wèn)題，由此列出關(guān)于m的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由于其表達(dá)式中含有參數(shù)m，故可對(duì)m的取值進(jìn)行分類討論，綜合討論過(guò)程即可得到答案．
（3）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x²e^x，構(gòu)造函數(shù)?（x）=e^x-1-x，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)后，我們易判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最小值，若最小值大于等于0即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）令f（x）=0，得（x²+mx+m）•e^x=0，所以x²+mx+m=0．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）沒(méi)有零點(diǎn)，所以△=m²-4m＜0，所以0＜m＜4．（4分）
（2）f'（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+m）e^x=（x+2）（x+m）e^x，
令f'（x）=0，得x=-2，或x=-m，
當(dāng)m＞2時(shí)，-m＜-2．列出下表：

x	（-∞，-m）	-m	（-m，-2）	-2	（-2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	me-m	↘	（4-m）e-2	↗

當(dāng)x=-m時(shí)，f（x）取得極大值me^-m．（6分）
當(dāng)m=2時(shí)，f'（x）=（x+2）²e^x≥0，f（x）在R上為增函數(shù)，
所以f（x）無(wú)極大值．（7分）
當(dāng)m＜2時(shí)，-m＞-2．列出下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-m）	-m	（-m，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	（4-m）e-2	↘	me-m	↗

當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）取得極大值（4-m）e^-2，（9分）
所以g(m)=

me-m，m＞2 (4-m)e-2，m＜2

（10分）
（3）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x²e^x，令?（x）=e^x-1-x，則?'（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）為增函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）為減函數(shù)，
所以當(dāng)x=0時(shí)，φ（x）取得最小值0．（13分）
所以φ（x）≥φ（0）=0，e^x-1-x≥0，所以e^x≥1+x，
因此x²e^x≥x²+x³，即f（x）≥x²+x³．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)研究函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．