【題目】有一個底面半徑為3,軸截面為正三角形的圓錐紙盒,在該紙盒內(nèi)放一個棱長均為a的四面體,并且四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動,則a的最大值為________.
【答案】
【解析】
先求圓錐內(nèi)切球半徑,再根據(jù)a取最大值時,四面體外接球恰為圓錐內(nèi)切球,解得結(jié)果.
依題意,四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動,故該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球,設(shè)圓心為P,球的半徑為r,軸截面上球與圓錐母線的切點(diǎn)為Q,圓錐的軸截面如圖所示:
則,由于為等邊三角形,因此P為的中心,
連接BP,則BP平分,
因?yàn)?/span>a取最大值時,四面體外接球恰為圓錐內(nèi)切球,
由于四面體可以從正方形中截得,如圖,當(dāng)正四面體的棱長為a時,截的它的正方體的棱長為,而正四面體的四個頂點(diǎn)都在正方體上,故正方體的外接球就是正方形的外接球,所以
故答案為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底,為常數(shù),)有兩個極值點(diǎn),且.
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在區(qū)間內(nèi)至少存在一個實(shí)數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在數(shù)列{an}中,設(shè)a1為首項(xiàng),其前n項(xiàng)和為Sn,若對任意的正整數(shù)m,n都有不等式S2m+S2n<2Sm+n(m≠n)恒成立,且2S6<S3.
(1)設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差為d,求的取值范圍;
(2)設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且公比為q(q>0且q≠1),求a1q的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省確定從2021年開始,高考采用“”的模式,取消文理分科,即“3”包括語文、數(shù)學(xué)、英語,為必考科目:“1”表示從物理、歷史中任選一門;“2”則是從生物、化學(xué)、地理、政治中選擇兩門,共計(jì)六門考試科目.某高中從高一年級2000名學(xué)生(其中女生900人)中,采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)已知抽取的名學(xué)生中含男生110人,求的值及抽取到的女生人數(shù);
(2)學(xué)校計(jì)劃在高二上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對在(1)的條件下抽取到的名學(xué)生講行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目).下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表,請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
性別 | 選擇物理 | 選擇歷史 | 總計(jì) |
男生 | 50 | ||
女生 | 30 | ||
總計(jì) |
(3)在(2)的條件下,從抽取的選擇“物理”的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人,再從這6名學(xué)生中抽取2人,對“物理”的選課意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率.
參考公式:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點(diǎn),已知以F為圓心,FA為半徑的圓F交l于M.N點(diǎn).
(1)若,的面積為,求拋物線方程;
(2)若A.M.F三點(diǎn)在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到直線n、m距離的比值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,是邊長為的正方形.且,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求平面與平面所成銳二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),一個焦點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與軸交于點(diǎn),與橢圓交于兩點(diǎn),線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),求的取值范圍.
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