Question

在數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件得，代入計算，可得a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）先猜想{a_n}，{b_n}的通項公式，再用數(shù)學歸納法證明；
（Ⅲ）利用放縮法，再利用裂項法求和，即可證得結論．
解答：（Ⅰ）解：由條件得
由此可得a₂=6，b₂=9，a₃=12，b₃=16，a₄=20，b₄=25．…（4分）
（Ⅱ）解：猜測．                           …（5分）
用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，由上可得結論成立．
②假設當n=k時，結論成立，即 ，
那么當n=k+1時，．
所以當n=k+1時，結論也成立．
由①②，可知對一切正整數(shù)都成立．…（9分）
（Ⅲ）證明：．
n≥2時，由（Ⅰ）知a_n+b_n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．…（11分）
故==…（14分）
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查數(shù)學歸納法的運用，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項，正確運用放縮法是關鍵．