Question

2．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$不共線，若實數(shù)t₀滿足：對任意實數(shù)t，恒有|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+t₀$\overrightarrow$|，則t₀=（　�。�

• A． -$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$
• B． -$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow}^{2}}$
• C． $\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$
• D． $\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow}^{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件作出向量$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，過B作l∥OA，從而判斷出向量$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow$的終點在直線l上．過O作OC⊥l，則有$|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{a}+{t}_{0}\overrightarrow|$，而|$\overrightarrow{BC}$|=${t}_{0}\overrightarrow$，所以便得到${\overrightarrow{a}}^{2}-{{t}_{0}}^{2}{\overrightarrow}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+2{t}_{0}\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{{t}_{0}}^{2}{\overrightarrow}^{2}$，這樣即可求出t₀．

解答 解：如圖，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，則向量t$\overrightarrow$的終點在直線OB上，過A作直線l∥OB，則$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow$的終點在l上；
過O作OC⊥l，垂足為C，則：
$|\overrightarrow{OC}|$是|$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow$|的最小值，即|$\overrightarrow{OC}$|=$|\overrightarrow{a}+{t}_{0}\overrightarrow|$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}-{{t}_{0}}^{2}{\overrightarrow}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+2{t}_{0}\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{{t}_{0}}^{2}{\overrightarrow}^{2}$；
∴${{t}_{0}}^{2}{\overrightarrow}^{2}$=$-{t}_{0}\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，顯然t₀≠0；
∴${t}_{0}=-\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow}^{2}}$．
故選B．

點評 考查共線向量基本定理，向量加法的平行四邊形法則，直角三角形的邊的關(guān)系，向量數(shù)量積的運算．