Question

12．已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，集合A={x|f（x）=bx+c}，B={x|f（x）=cx+a}，C={x|f（x）=ax+b}．
（1）若A∩B≠∅，求證：a=c
（2）當(dāng)c=1時(shí)，若集合T=A∪B∪C中恰有3個(gè)元素，求2a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出A={0}，由A∩B≠∅，得出0∈B，把x=0代入方程f（x）=cx+a，得出a=c；
（2）c=1時(shí)，化簡(jiǎn)A、B、C，集合T=A∪B∪C中恰有3個(gè)元素，得出A={0}，討論B、C的情況，
求出對(duì)應(yīng)2a+b的值，比較得出最小值．

解答 解：（1）證明：∵方程ax²+bx+c=bx+c，
∴ax²=0，解得x=0，即A={0}；
又∵A∩B≠∅，∴0∈B；
把x=0代入方程f（x）=cx+a，即得a=c；
（2）當(dāng)c=1時(shí)，A={x|ax²=0}，
B={x|ax²+（b-1）x+（1-a）=0}，
C={x|ax²+（b-a）x+（1-b）=0}，
∵集合T=A∪B∪C中恰有3個(gè)元素，
∴a≠0，且A={0}，
∴0∈A∪B∪C；
當(dāng)0∈B時(shí)，1-a=0，解得a=1；
∴B={x|x²+（b-1）x=0}={0，1-b}；
∴C={x|x²+（b-1）x+1-b=0}={x|x=-$\frac{b-1}{2}$}={$\frac{1-b}{2}$}，
且1-b≠0，△=（b-1）²-4（1-b）=0，解得b=-3，
∴2a+b=2-3=-1；
當(dāng)0∈C時(shí)，1-b=0，解得b=1，∴C={0}；
∴B={x|ax²+1-a=0}={$\sqrt{1-\frac{1}{a}}$，-$\sqrt{1-\frac{1}{a}}$}，此時(shí)a＞1或a＜0，
且a＞1時(shí)，2a+b＞2；
a＜0時(shí)，2a+b＜1；
此時(shí)2a+b=2a+1無最小值；
綜上，2a+b的最小值是-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了集合的運(yùn)算問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，
是綜合性題目．