Question

6．證明：對(duì)于不小于3的自然數(shù)n，都存在一個(gè)自然數(shù)a_n，使得它可以表示為自己的n個(gè)互不相等的正約數(shù)的和．

Answer 1

分析 顯然，我們很難對(duì)任意的一個(gè)不小于3的自然數(shù)n，直接找到相應(yīng)的a_n來(lái)，面對(duì)這樣的情形，較為穩(wěn)妥的做法是只能先從a₃，a₄，…找起，經(jīng)過(guò)不多的幾步探索，有6=1+2+3，而且1，2，3恰好是6的3個(gè)互不相等的正約數(shù)，因此可將a₃取作6，在此基礎(chǔ)上，由可發(fā)現(xiàn)12=1+2+3+6，而且1，2，3，6恰好是12的4個(gè)互不相等的正約數(shù)，因?yàn)橛挚扇�a₄=12，循環(huán)下去，便可依次取24，48，…，這就告訴我們：如果取定了a_k，那么接下去就再取a_k+1=2a_k，就行了．

解答 證明：當(dāng)n=3時(shí)，6=1+2+3，
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，即a_k可以表示為自己的k個(gè)互不相等的正約數(shù)b₁＜b₂＜…＜b_k之和，即a_k=b₁+b₂+…+b_k，
取定a_k+1=2a_k，則：
a_k+1=b₁+b₂+…+b_k+a_k，
若記b_k+1=a_k，則顯然有b₁＜b₂＜…＜b_k＜b_k+1，
即互不相同且是b_k+1的約數(shù)，
故由第一數(shù)學(xué)歸納法此命題正確．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，概括為以下三步：（1）歸納奠基：證明n=1時(shí)命題成立；（2）歸納假設(shè)：假設(shè)n=k時(shí)命題成立；（3）歸納遞推：由歸納假設(shè)推出n=k+1時(shí)命題也成立．