Question

如圖，在四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=

1

2

AD，四邊形ABCD是直角梯形中，∠ABC=∠BAD=90°．
（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）過C作CE∥AB，交AD于E，由已知條件利用勾股定理求出CD⊥AC，由此能證明CD⊥平面PAC．
（2）由已知條件求出CE⊥平面PAD，過E作EF⊥PD于F，連結(jié)CF，得到∠GHC是二面角A-PD-C的平面角，同此能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答： （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥PA．（1分）
又∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴AC=

2

AB，（2分）
過C作CE∥AB，交AD于E，
則CE=AB=BC=DE，∠CED=90°，（3分）
∴CD=

2

AB，（4分）
在△ACD中，AC²+CD²=4AB²=AD²，∴CD⊥AC．（5分）
又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．（6分）
（2）解：∵CE⊥AD，CE⊥PA，
∴CE⊥平面PAD．（7分）
過E作EF⊥PD于F，連結(jié)CF，得CF⊥PD．（8分）
∴∠GHC是二面角A-PD-C的平面角．（9分）
設(shè)AD=2，則PA=AB=CE=DE=1，DP=

5

．
∵△PAD∽△DEF，
∴

EF

PA

=

DE

DP

，
∴EF=

1

5

．（11分）
∴CF=

CE2+EF2

=

1+ 1 5

=

30

6

，（12分）
∴cos∠CFE=

EF

CF

=

6

6

．
∴二面角A-PD-C的余弦值為

6

6

．（14分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．