Question

過(guò)橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點(diǎn)F（1，0）的直線(xiàn)L交橢圓于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△OAB面積最大時(shí)，求直線(xiàn)L的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)l：x=my+1，代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，整理，利用韋達(dá)定理，表示出△OAB面積，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)直線(xiàn)L的方程：x=my+1，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

⇒（4+3m²）y²+6my-9=0，
∴y1+y2=

-6m

4+3m2

，y1y2=

-9

4+3m2

，
∴S△OAB=S△OAF+S△OBF=

1

2

(|y1|+|y2|)=

1

2

|y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=6

m2+1 (4+3m2)2

=

6

(4+3m2)2 m2+1

=

6

9(m2+1)+ 9 m2+1 - 8 m2+1 +6

≤

6

24- 8 m2+1

≤

3

2

（當(dāng)m=0時(shí)等號(hào)成立），
∴當(dāng)直線(xiàn)L的方程為x=1時(shí)，(S△OAB)max=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確表示△OAB的面積是關(guān)鍵．