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過橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的右焦點F（1，0）的直線L交橢圓于A，B兩點，當△OAB面積最大時，求直線L的方程．
考點：橢圓的簡單性質
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：設l：x=my+1，代入橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，整理，利用韋達定理，表示出△OAB面積，結合基本不等式，即可得出結論．
解答： 解：設直線L的方程：x=my+1，A（x1，y1）B（x2，y2）
x=my+1
x2
4
+
y2
3
=1
⇒（4+3m2）y2+6my-9=0，
∴y1+y2=
-6m
4+3m2
，y1y2=
-9
4+3m2
，
∴S△OAB=S△OAF+S△OBF=
1
2
(|y1|+|y2|)=
1
2
|y1-y2|=
1
2
(y1+y2)2-4y1y2

=6
m2+1
(4+3m2)2
=
6
(4+3m2)2
m2+1
=
6
9(m2+1)+
9
m2+1
-
8
m2+1
+6
≤
6
24-
8
m2+1
≤
3
2
（當m=0時等號成立），
∴當直線L的方程為x=1時，(S△OAB)max=
3
2
．
點評：本題考查橢圓的性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，正確表示△OAB的面積是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)的兩條漸近線為l1，l2，過右焦點F作垂直l1的直線交l1，l2于A，B兩點．若|OA|，|AB|，|OB|成等差數列，則雙曲線的離心率為（　　）
A、
5
2
B、
5
C、
3
D、
3
+1

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科目：高中數學 來源： 題型：

“x=2”是“l(fā)og2|x|=1”的（　�。�
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知等比數列{an}滿足a3-a1=3，a1+a2=3．
（Ⅰ）求數列{an}的前15項的和S15；
（Ⅱ）若等差數列{bn}滿足b1=a2，b3=a2+a3，求數列{bn}的前n項的和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右準線為直線l，動直線y=kx+m（k＜0，m＞0）交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為M，射線OM分別交橢圓及直線l于P，Q兩點，如圖．若A，B兩點分別是橢圓E的右頂點，上頂點時，點Q的縱坐標為
1
e
（其中e為橢圓的離心率），且OQ=
5
OM．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）如果OP是OM，OQ的等比中項，那么
m
k
是否為常數？若是，求出該常數；若不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=5sin（2x-
π
3
）-3是由y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到的？

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，-3），
b
=（-1，2），
c
=（2，8）
（Ⅰ）若
c
=x
a
+y
b
，求x，y的值；
（Ⅱ）若
d
=3
a
+5
b
，求向量
a
與向量
d
的夾角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=
1
2
AD，四邊形ABCD是直角梯形中，∠ABC=∠BAD=90°．
（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知直線l：ax-y=0在矩陣A=[
01
12
]對應的變換作用下得到直線l′，若直線l′過點（1，1），求實數a的值．

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