Question

設一個焦點為（-1，0），且離心率e=

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上下兩頂點分別為A，B，直線y=kx+2交橢圓C于P，Q兩點，直線PB與直線y=

1

2

交于點M．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：A，M，Q三點共線．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

c=1 c a = 2 2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，由此利用韋達定理、直線方程，結合已知條件能證明A，M，Q三點共線．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一個焦點為（-1，0），
且離心率e=

2

2

，
∴

c=1 c a = 2 2

，解得a=

2

，c=1，
∴b²=a²-c²=2-1=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：聯(lián)立

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，
△=64k²-24（2k²+1）＞0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1 +x2=-

8k

2k2+1

，x₁x₂=

6

2k2+1

，
∵A（0，1），B（0，-1），
∴直線BP：y+1=

y1+1

x1

x，直線AQ：y-1=

y2-1

x2

x ，
∵直線PB與直線y=

1

2

交于點M，∴M（

3

2

•

x1

y1+1

，

1

2

），
把M（

3

2

•

x1

y1+1

，

1

2

）代入直線AQ，得：
-

1

2

=

y2-1

x2

•

3

2

•

x1

y1+1

=

3

2

•

x1y2-x1

x2y1+x2

=

3

2

•

x1(kx2+2)-x1

x2(kx1+2)+x2

=

3

2

•

kx1x2+x1

kx1x2+3x2

=

3

2

•

6k 2k2+1 +x1

6k 2k2+1 +3x2

=

3

2

•

6k+(2k2+1)x1

6k+(6k2+3)x2

=

3

2

•

-2k-(2k2+1)x2

6k+(6k2+3)x2

=-

1

2

，成立．
∴A，M，Q三點共線．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三點共線的證明，解題時要認真審題，注意直線方程、韋達定理、橢圓性質等知識點的合理運用．