Question

7．如果定義在R上的函數f（x）滿足：對于任意x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱f（x）為“H函數”．給出下列函數：①y=-x³+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=e^x+1；④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln|x|，x≠0\\ 0，x=0.\end{array}\right.$
其中“H函數”的個數是②③．

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數為單調遞增函數，判斷函數的單調性即可得到結論．

解答 解：∵對于任意給定的不等實數x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數f（x）是定義在R上的增函數．
①y=-x³+x+1；y'=-3x²+1，則函數在定義域上不單調．
②y=3x-2（sinx-cosx）；y’=3-2（cosx+sinx）=3-2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0，函數單調遞增，滿足條件．
③y=e^x+1為增函數，滿足條件．
；④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln|x|，x≠0\\ 0，x=0.\end{array}\right.$
當x＞0時，函數單調遞增，當x＜0時，函數單調遞減，不滿足條件．
綜上滿足“H函數”的函數為②③，
故答案為：②③．

點評 本題主要考查函數單調性的應用，將條件轉化為函數的單調性的形式是解決本題的關鍵．