Question

已知函數(shù)f（x）=lg

a-x

10+x

，其定義域?yàn)閇-9，9]，且在定義域上是奇函數(shù)，a∈R
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；
（3）若函數(shù)g（x）=|f（x）+1|-m有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)的定義，得f（-x）=-f（x），求出a的值；
（2）函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷并證明f（x）在定義域上的單調(diào)性即可；
（3）考查函數(shù)y=|f（x）+1|的圖象與性質(zhì)，得出g（x）=|f（x）+1|-m有兩個零點(diǎn)，
即關(guān)于x的方程|f（x）+1|=m 有兩個互異實(shí)根，?求出滿足條件的m的取值范圍即可．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lg

a-x

10+x

是定義域?yàn)閇-9，9]上的奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），即lg

a+x

10-x

=-lg

a-x

10+x

，…（2分）
所以

a+x

10-x

=

10+x

a-x

，
即a²-x²=100-x²，則a²=100，
得a=10或a=-10；
當(dāng)a=-10時，f（x）=lg（-1）無意義，
所以a=10；…（4分）
（注：若用f（0）=0解得a=10，未加以代入檢驗(yàn)扣2分）
（2）由（1）知函數(shù)f（x）=lg

10-x

10+x

，該函數(shù)是定義域上的減函數(shù)；…（5分）
證明：設(shè)x₁、x₂為區(qū)間[-9，9]上的任意兩個值，且x₁＜x₂，
則x₂-x₁＞0，…（6分）
f（x₁）-f（x₂）=lg

10-x1

10+x1

-lg

10-x2

10+x2

=lg

100-x1x2+10(x2-x1)

100-x1x2+10(x1-x2)

；…（8分）
因?yàn)閇100-x₁x₂+10（x₂-x₁）]-[100-x₁x₂+10（x₁-x₂）]=20（x₂-x₁）＞0，
所以100-x₁x₂+10（x₂-x₁）＞100-x₁x₂+10（x₁-x₂），
又因?yàn)?00-x₁x₂+10（x₁-x₂）=（10+x₁）（10-x₂）＞0，
所以100-x₁x₂+10（x₂-x₁）＞100-x₁x₂+10（x₁-x₂）＞0；
則

100-x1x2+10(x2-x1)

100-x1x2+10(x1-x2)

＞1，
lg

100-x1x2+10(x2-x1)

100-x1x2+10(x1-x2)

＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂）；
所以函數(shù)f（x）=lg

10-x

10+x

是定義域上的減函數(shù)；    …（10分）
（3）|f（x）+1|=

lg 10-x 10+x +1，-9≤x≤ 90 11 -lg 10-x 10+x -1， 90 11 ＜x≤9

，
要使g（x）=|f（x）+1|-m有兩個零點(diǎn)，
即關(guān)于x的方程|f（x）+1|=m 有兩個互異實(shí)根，…（11分）
?當(dāng)-9≤x≤

90

11

時，
y=|f（x）+1|=lg

10-x

10+x

+1在區(qū)間[-9，

90

11

]上單調(diào)減，
所以函數(shù)y=|f（x）+1|的值域?yàn)閇0，1+lg19]；…（13分）
?當(dāng)

90

11

≤x≤9時，
y=|f（x）+1|=-lg

10-x

10+x

-1在區(qū)間[

90

11

，9]上單調(diào)增，
所以函數(shù)y=|f（x）+1|的值域?yàn)閇0，-1+lg19]；…（15分）
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0，-1+lg19]．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了對數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)的應(yīng)用問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．