Question

已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ln（1+x）-

2ax

x+2

．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，求f（x₁）+f（x₂），并注明a的取值范圍；
（3）若f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f′（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=

1

1+x

-

4a

(x+2)2

=

1

(x+1)(x+2)2

（x²+（4-4a）x+4-4a），令g（x）=x²+（4-4a）x+4-4a，討論g（x）的正負(fù)推導(dǎo)f′（x）的正負(fù)，從而推導(dǎo)f（x）的單調(diào)性；
（2）結(jié)合（1）可得f（x₁）+f（x₂）=f（2a-2-2

a(a-1)

）+f（2a-2+2

a(a-1)

），代入化簡即可．
（3）由（1）可直接寫出答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln（1+x）-

2ax

x+2

，
∴f′（x）=

1

1+x

-

4a

(x+2)2

=

1

(x+1)(x+2)2

（x²+（4-4a）x+4-4a）；
①令g（x）=x²+（4-4a）x+4-4a，
當(dāng)△=（4-4a）（4-4a）-4（4-4a）
=（4-4a）（4-4a-4）
=-16a（1-a）≤0，
即0＜a≤1時(shí)，g（x）≥0；
故f′（x）≥0，
故f（x）在定義域（-1，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＞1時(shí)，4-4a＜0，故x²+（4-4a）x+4-4a=0有兩個(gè)根，
且一正一負(fù)，
又∵g（-1）=1＞0，
∴x²+（4-4a）x+4-4a=0的兩個(gè)根都大于-1；
x²+（4-4a）x+4-4a=0的兩個(gè)根為
x₁=2a-2-2

a(a-1)

，x₂=2a-2+2

a(a-1)

；
故當(dāng)x∈（-1，2a-2-2

a(a-1)

），（2a-2+2

a(a-1)

，+∞）時(shí)，
f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（2a-2-2

a(a-1)

，2a-2+2

a(a-1)

）時(shí)，f′（x）＜0，
f（x）是減函數(shù)；
（2）由（1）知，當(dāng)a＞1時(shí)，（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
f（x₁）+f（x₂）=f（2a-2-2

a(a-1)

）+f（2a-2+2

a(a-1)

）
=ln（1+2a-2-2

a(a-1)

）+ln（1+2a-2+2

a(a-1)

）
-4a+

4a

2a-2 a(a-1)

+

4a

2a+2 a(a-1)

=0-4a+4a=0，
故f（x₁）+f（x₂）=0，a＞1；
（3）由（1）知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f′（x）＞0．
故a的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．