Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）記b_n=S_n-3ⁿ，求數列{b_n}的通項公式；
（2）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，從而能求出數列{b_n}的通項公式．
（2）由S_n=3ⁿ+（a-3）•2^n-1，n∈N^*，得a_n=S_n-S_n-1=2×3^n-1+（a-3）•2^n-2，從而a_n+1-a_n=2n-2[12•(

3

2

)n-2+a-3]，當n≥2時，a_n+1≥a_n，等價于12•(

3

2

)n-2+a-3≥0，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）依題意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，
∴S_n+1=2S_n+3ⁿ，
由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，
又S₁-3=a-3，
∴{Sn-3n}是首項為a-3，公比為2的等比數列，
∴所求通項公式為bn=Sn-3n=（a-3）•2^n-1，n∈N^*．
（2）由（1）知S_n=3ⁿ+（a-3）•2^n-1，n∈N^*，
于是，當n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+（a-3）×2^n-1-3^n-1-（a-3）×2^n-2
=2×3^n-1+（a-3）•2^n-2，
a_n+1-a_n=4×3^n-1+（a-3）•2^n-2
=2n-2[12•(

3

2

)n-2+a-3]，
當n≥2時，a_n+1≥a_n，等價于12•(

3

2

)n-2+a-3≥0，
解得a≥-9．
又a₂=a₁+3＞a₁，
∴a的取值范圍是[-9，+∞）．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意構造法的合理運用．