在右圖所示的多面體中,下部ABCD-A′B′C′D′為正方體,點P在DD′的延長線上,且PD′=D′D,M、N分別為△PA′B′和△PB′C′的重心.
(1)已知R為棱PD上任意一點,求證:MN∥平面RAC;
(2)求二面角M-BC-D的正切值大。

【答案】分析:(1)連PM并延長交A'B'于點E,連PN并延長交B'C'于點F,則E、F分別為A'B'、B'C'的中點,連A'C'、EF,則EF∥A'C',MN∥EF,由此能夠證明MN∥平面RAC.
(2)取AB的中點G,連EG、DG,則得到直角梯形PDGE,面PDGE⊥面BCDG,過M作MH⊥DG于點H,則MH⊥面BCDG,過H作HQ⊥BC于Q,連MQ,則MQ⊥BC,則∠HQM為二面角M-BC-D的平面角,由此能求出二面角M-BC-D的正切值.
解答:解:(1)連PM并延長交A'B'于點E,
連PN并延長交B'C'于點F,
則E、F分別為A'B'、B'C'的中點,
連A'C'、EF,則EF∥A'C',MN∥EF,
∴MN∥A'C',又A'C'∥AC,
∴MN∥AC,
∵MN?面ACR,AC?面ACR,
∴MN∥平面RAC.
(2)取AB的中點G,連EG、DG,
則得到直角梯形PDGE,面PDGE⊥面BCDG,交線為DG,
過M作MH⊥DG于點H,則MH⊥面BCDG,
過H作HQ⊥BC于Q,連MQ,則MQ⊥BC,
∴∠HQM為二面角M-BC-D的平面角,
設(shè)正方體的棱長為a,則,,
∴二面角M-BC-D的正切值
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的正切值的求法.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地化空間問題為平面問題.
練習(xí)冊系列答案
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在右圖所示的多面體中,下部ABCD-A′B′C′D′為正方體,點P在DD′的延長線上,且PD′=D′D,M、N分別為△PA′B′和△PB′C′的重心.
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