Question

在右圖所示的多面體中，下部ABCD-A′B′C′D′為正方體，點(diǎn)P在DD′的延長(zhǎng)線上，且PD′=D′D，M、N分別為△PA′B′和△PB′C′的重心．
（1）已知R為棱PD上任意一點(diǎn)，求證：MN∥平面RAC；
（2）求二面角M-BC-D的正切值大小．

Answer 1

分析：（1）連PM并延長(zhǎng)交A'B'于點(diǎn)E，連PN并延長(zhǎng)交B'C'于點(diǎn)F，則E、F分別為A'B'、B'C'的中點(diǎn)，連A'C'、EF，則EF∥A'C'，MN∥EF，由此能夠證明MN∥平面RAC．
（2）取AB的中點(diǎn)G，連EG、DG，則得到直角梯形PDGE，面PDGE⊥面BCDG，過M作MH⊥DG于點(diǎn)H，則MH⊥面BCDG，過H作HQ⊥BC于Q，連MQ，則MQ⊥BC，則∠HQM為二面角M-BC-D的平面角，由此能求出二面角M-BC-D的正切值．

解答：解：（1）連PM并延長(zhǎng)交A'B'于點(diǎn)E，
連PN并延長(zhǎng)交B'C'于點(diǎn)F，
則E、F分別為A'B'、B'C'的中點(diǎn)，
連A'C'、EF，則EF∥A'C'，MN∥EF，
∴MN∥A'C'，又A'C'∥AC，
∴MN∥AC，
∵M(jìn)N?面ACR，AC?面ACR，
∴MN∥平面RAC．
（2）取AB的中點(diǎn)G，連EG、DG，
則得到直角梯形PDGE，面PDGE⊥面BCDG，交線為DG，
過M作MH⊥DG于點(diǎn)H，則MH⊥面BCDG，
過H作HQ⊥BC于Q，連MQ，則MQ⊥BC，
∴∠HQM為二面角M-BC-D的平面角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則MH=a+

a

3

=

4

3

a，HQ=

2

3

a，
∴二面角M-BC-D的正切值tan∠HQM=

MH

HQ

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問題為平面問題．