【題目】已知各項為正的等比數列{an}的前n項和為Sn , S4=30,過點P(n,log2an)和Q(n+2,log2an+1)(n∈N*)的直線的一個方向向量為(﹣1,﹣1)
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn= ,數列{bn}的前n項和為Tn , 證明:對于任意n∈N* , 都有Tn .
【答案】
(1)解:∵各項為正的等比數列{an}的前n項和為Sn,S4=30,
過點P(n,log2an)和Q(n+2,log2an+1)(n∈N*)的直線的一個方向向量為(﹣1,﹣1),
∴ ,
解得 ,q=4,
∴an= .
(2)解:∵bn= = = ( ﹣ ),
∴數列{bn}的前n項和:
Tn= ( + + +…+ + )
= ( ﹣ )
= ( + ﹣ ﹣ )
< .
∴對于任意n∈N*,都有Tn
【解析】(1)利用等比數列前n項和公式及直線的方向向量性質列出方程組,由此能求出首項和公比,從而能求出數列{an}的通項公式.(2)由bn= = ( ﹣ ),利用裂項法能證明對于任意n∈N* , 都有Tn .
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系;如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數列的通項公式.
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【題目】設函數f(x)=lnx﹣ ax2﹣bx,若x=1是f(x)的極大值點,則a的取值范圍為( )
A.(﹣1,0)
B.(﹣1,+∞)
C.(0,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)
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【題目】設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數,f(﹣1)=0,當x>0時,xf′(x)﹣f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
B.(﹣1,0)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)是橢圓P: (a>b>0)的右焦點,已知A(0,﹣2)與橢圓左頂點關于直線y=x對稱,且直線AF的斜率為 ,
(1)求橢圓P的方程;
(2)過點Q(﹣1,0)的直線l交橢圓P于M、N兩點,交直線x=﹣4于點E, = , = ,證明:λ+μ為定值.
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【題目】(分)已知橢圓的左焦點為,過的直線與交于、兩點.
()求橢圓的離心率.
()當直線與軸垂直時,求線段的長.
()設線段的中點為,為坐標原點,直線交橢圓交于、兩點,是否存在直線使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,AD⊥CE,垂足為D,AC平分∠BAD.
(1)求證:直線CE是⊙O的切線;
(2)求證:AC2=ABAD.
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【題目】如果執(zhí)行右邊的程序框圖,輸入正整數N(N≥2)和實數a1 , a2 , …,an , 輸出A,B,則( )
A.A+B為a1 , a2 , …,an的和
B. 為a1 , a2 , …,an的算術平均數
C.A和B分別是a1 , a2 , …,an中最大的數和最小的數
D.A和B分別是a1 , a2 , …,an中最小的數和最大的數
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