Question

已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，PD=2，E，F(xiàn)分別是PA、BC的中點(diǎn)
（1）求證：EF∥平面PDC；
（2）求證：DE⊥PB．

Answer 1

分析：（1）取PD中點(diǎn)G，連接EG、FG，根據(jù)三角形中位線定理證出EG∥AD且EG=

1

2

AD，由F為正方形ABCD的邊CD中點(diǎn)，得FC∥AD且FC=

1

2

AD，從而得到四邊形CFEG是平行四邊形，得EF∥CG，由此結(jié)合線面平行判定定理即可證出EF∥平面PDC；
（2）根據(jù)PD⊥平面ABCD，得到PD⊥AB，結(jié)合AD⊥AB證出AB⊥平面PAD，從而得到DE⊥AB．等腰Rt△PAD中E為PA中點(diǎn)，可得DE⊥PA，結(jié)合PA、AB是平面PAB內(nèi)的相交直線，得到DE⊥平面PAB，從而可得DE⊥PB．

解答：解：（1）取PD中點(diǎn)G，連接EG、FG
∵EG是△PAD的中位線，∴EG∥AD且EG=

1

2

AD
又∵正方形ABCD中，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，可得FC∥AD且FC=

1

2

AD
∴EG∥FC且EG=FC，可得四邊形CFEG是平行四邊形
∴EF∥CG，
∵EF?平面PDC，CG?平面PDC，∴EF∥平面PDC；
（2）∵PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，
∵AD⊥AB，AD、PD是平面PAD內(nèi)的相交直線
∴AB⊥平面PAD，結(jié)合DE?平面PAD，可得DE⊥AB
∵△PAD中，PD⊥AD，PD=AD=2，E為PA中點(diǎn)，∴DE⊥PA
∵PA、AB是平面PAB內(nèi)的相交直線，
∴DE⊥平面PAB，結(jié)合PB?平面PAB，可得DE⊥PB．

點(diǎn)評(píng)：本題給出底面為正方形且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，求證線面平行和線線垂直，著重考查了空間直線與平面平行的判定定理和、線面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．