Question

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是橢圓x²+5y²=5的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)M（-1，1）引拋物線的弦使點(diǎn)M為弦中點(diǎn)．求弦所在的直線方程，并求出弦長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出橢圓的左焦點(diǎn)，即為拋物線的焦點(diǎn)，得到拋物線方程，設(shè)拋物線的弦所在方程，聯(lián)立拋物線方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，列出方程，求出k，注意檢驗(yàn)判別式，再由弦長(zhǎng)公式即可得到．

解答： 解：橢圓x²+5y²=5即為

x2

5

+y²=1的左焦點(diǎn)為（-2，0），
則拋物線方程為y²=-8x，
設(shè)拋物線的弦所在的直線為y-1=k（x+1），
聯(lián)立拋物線的方程，消去y，得，k²x²+[2k（1+k）+8]x+（1+k）²=0，
則△=[2k（1+k）+8]²-4k²（1+k）²＞0，
x₁+x₂=-

2k(1+k)+8

k2

，x₁x₂=

(1+k)2

k2

由M（-1，1）為弦的中點(diǎn)，可得-

2k(1+k)+8

k2

=-2，
解得，k=-4，
則△＞0成立，則弦所在的直線方程為：4x+y+3=0；
則x₁+x₂=-2，x₁x₂=

1

4

，
則弦長(zhǎng)為

1+(-4)2

•

(-2)2-4× 1 4

=

51

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，拋物線的方程的求法，考查聯(lián)立直線方程好額拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．