Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x+

1

x

+2f′（1）x²．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＞ax對(duì)x∈（1，e）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，對(duì)f（x）求導(dǎo)，可得f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

+4f′（1）x，令x=1可得f′（1）的值，進(jìn)而可得f′（x）的解析式，令f′（x）≤0，解可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）可得f（x）的表達(dá)式，則可將f（x）＞ax變形為a＜

2lnx

x

+

1

x2

-1，取g（x）=

2lnx

x

+

1

x2

-1，求導(dǎo)可得則g′（x）=

2x-xlnx-2

x3

，令h（x）=2x-xlnx-2，求導(dǎo)分析可得h（x）的單調(diào)區(qū)間與最小值，進(jìn)而可得g′（x）＞0，可得g（x）的單調(diào)性與最小值，結(jié)合a＜

2lnx

x

+

1

x2

-1可得a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2lnx-x+

1

x

+2f′（1）x²，有x＞0，
則f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

+4f′（1）x，
令x=1可得，f′（1）=4f′（1），則f′（1）=0；
故f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

=-（

x-1

x

）²≤0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞），
（2）由（1）可得，f（x）=2lnx-x+

1

x

，
若f（x）＞ax對(duì)x∈（1，e）恒成立，即a＜

2lnx

x

+

1

x2

-1在（1，e）恒成立，
取g（x）=

2lnx

x

+

1

x2

-1，則g′（x）=

2-lnx

x2

-

2

x3

=

2x-xlnx-2

x3

，
令h（x）=2x-xlnx-2，則h′（x）=1-lnx，
又由1＜x＜e，則h′（x）=1-lnx＞0，即h（x）在（1，e）為增函數(shù)，
故h（x）＞h（1）=0，
則g′（x）=

2x-xlnx-2

x3

＞0，即g（x）在（1，e）為增函數(shù)，
故g（x）＞g（1）=0，
若a＜

2lnx

x

+

1

x2

-1在（1，e）恒成立，
則必有a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及應(yīng)用，注意首先要分析函數(shù)的定義域，其次注意正確求出f（1）的值，從而得到f（x）的解析式．