Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，又a₁=1，a₂=2，且滿足S_n+1=kS_n+1，
（1）求k的值及a_n的通項(xiàng)公式；
（2）若T_n=

an

(an+1)(an+1+1)

，求證：T₁+T₂+…+T_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用n=1，以及已知條件即可求k的值，利用a_n=S_n-S_n-1，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用（1）的通項(xiàng)公式通過T_n=

an

(an+1)(an+1+1)

利用裂項(xiàng)法求和，即可求證：T₁+T₂+…+T_n＜

1

2

．

解答： 解：（1）令n=1，則s₂=a₁+a₂=ks₁+1=ka₁+1
故k+1=3∴k=2
故s_n+1=2s_n+1    ①
s_n=2s_n-1+1    ②
①-②得  a_n+1=2a_n（n≥2）
故

an+1

an

=2(n≥2)又

a2

a1

=2
故a_n=2^n-1        
（2）Tn=

2n-1

(2n+1)(2n-1+1)

=

1

2n-1+1

-

1

2n+1

故T1+T2+…+Tn=

1

20+1

-

1

21+1

+

1

22+1

+…+

1

2n-1+1

-

1

2n+1

=

1

2

-

1

2n+1

＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列求和的方法裂項(xiàng)法的應(yīng)用，數(shù)列與不等式的關(guān)系，考查計(jì)算能力．