Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥ax+

a

2

-

7

2

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）去絕對(duì)值，分三段：x＜-

1

2

，-

1

2

≤x≤3，x＞3寫出表達(dá)式，判斷各段的單調(diào)性，得到最小值；
（2）令g(x)=ax+

a

2

-

7

2

，畫出f（x）、g（x）的圖象，通過(guò)直線繞點(diǎn)（-

1

2

，-

7

2

）旋轉(zhuǎn)觀察，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意得f(x)=

-x-4(x＜- 1 2 ) 3x-2(- 1 2 ≤x≤3) x+4(x＞3)

所以 f（x）在(-∞，-

1

2

)上單調(diào)遞減，
在(-

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x=-

1

2

時(shí)y=f（x）取得最小值，
此時(shí)f(x)min=-

7

2

；
（2）由（1）及g(x)=ax+

a

2

-

7

2

，
可知y=g（x）恒過(guò)點(diǎn)過(guò)(-

1

2

，-

7

2

)，
由圖象可知-1≤a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值函數(shù)的最值，注意寫成分段函數(shù)的形式，討論各段的單調(diào)性，從而求出最值，考查分段函數(shù)的圖象和運(yùn)用，不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系，屬于中檔題．