已知曲線C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R），直線l：y=kx+b（k，b∈R，kb≠0）與曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N，直線l與x軸交于點(diǎn)P．
（1）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（2）若m=4．
①設(shè)b=2，若x軸上有一定點(diǎn)F（2，0），記△MNF的面積為S（k），求S（k）的最大值；
②設(shè)b=2k，若點(diǎn)T在x軸上，且|TM|=|TN|．
求證：
|PT|
|MN|
為定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）方程可改寫為
x2
8
5-m
+
y2
8
m-2
=0，由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，得
7
2
＜m＜5．
（2）①m=4時(shí)，曲線C即為橢圓
x2
8
+
y2
4
=0，直線l與x軸交點(diǎn)為P（-
b
k
，0）．△MNF的面積S（k）=
1
2
|PF|•|yM-yN|=
1
2
|-
2
k
-2|•|2-
2-4k2
1+2k2
|，由此能求出S（k）的最大值為2+2
3
．
②b=2k時(shí)，點(diǎn)P（-
b
k
，0）即為P（-2，0）恰為橢圓C的左焦點(diǎn)．設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），MN中點(diǎn)為Q（x0，y0），利用橢圓的第二定義、點(diǎn)差法結(jié)合已知條件能證明
|TP|
|MN|
=
x0+4
2
2
|x0+4|
=
2
4
為定值．
解答： （1）解：曲線C表示橢圓，則5-m＞0，m-2＞0，
此時(shí)方程可改寫為
x2
8
5-m
+
y2
8
m-2
=0，
又因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，
所以
8
5-m
＞
8
m-2
＞0，
解得
7
2
＜m＜5．…（4分）
（2）①解：m=4時(shí)，曲線C即為橢圓
x2
8
+
y2
4
=0，
其左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（2，0）．
由kb≠0，知k≠0，所以y=kx+b中，令y=0，得x=-
b
k
，
故直線l與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-
b
k
，0）．
b=2時(shí)，由
y=kx+2
x2
8
+
y2
4
=1
，得
x1=0
y1=2
或
x2=
-8k
1+2k2
y2=
2-4k2
1+2k2
，
從而橢圓C與直線l的交點(diǎn)M和N的坐標(biāo)分別為：
M（0，2），N（
-8k
1+2k2
，
2-4k2
1+2k2
）或M（（
-8k
1+2k2
，
2-4k2
1+2k2
），N（0，2）．…（6分）
所以△MNF的面積S（k）=
1
2
|PF|•|yM-yN|=
1
2
|-
2
k
-2|•|2-
2-4k2
1+2k2
|，…（8分）
即S（k）=
8|k2+k|
1+2k2
．令t=
k2+k
1+2k2
，則關(guān)于k的二次方程（2t-1）k2-k+t=0有實(shí)數(shù)根，
所以當(dāng)t≠
1
2
時(shí)，△=（-1）2-4（2t-1）t≥0，
解得
1-
3
4
≤t≤
1+
3
4
，且t=
1
2
也在此范圍內(nèi)，
特別地當(dāng)k=
1+
3
2
時(shí)，t=
1+
3
4
．
故S（k）=
8|k2+k|
1+2k2
=8|t|的最大值為2+2
3
． …（10分）
②證明：b=2k時(shí)，點(diǎn)P（-
b
k
，0）即為P（-2，0）恰為橢圓C的左焦點(diǎn)．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），MN中點(diǎn)為Q（x0，y0），
x軸上點(diǎn)T坐標(biāo)為（t，0），則x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，
直線l的斜率k=
y1-y2
x1-x2
．
由P為左焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓的第二定義得，
|MN|=|MP|+|NP|
=（
8
+
8-4
8
x1）+（
8
+
8-4
8
x2）
=4
2
+
1
2
(x1+x2)=
2
(4+x0)．…（12分）
由|TM|=|TN|知，T（t，0）在MN的垂直平分線，
即直線y-y0=-
1
k
（x-x0）上，
所以0-y0=-
1
k
（t-x0），（*）
將M（x1，y1），N（x2，y2）代入橢圓C方程，
得
x12+2y12=8
x22+2y22=8
，兩式作差并整理得：
(x1+x2)+
2(y1-y2)
x1-x2
(y1+y2)=0，
即有x0+2ky0=0，
與（*）式聯(lián)立解得t=
x0
2
，
所以|TP|=|t-xP|=|
x0
2
-(-2)|=
x0+4
2
，…（15分）
故
|TP|
|MN|
=
x0+4
2
2
|x0+4|
=
2
4
為定值．…（16分）
點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查三角形面積的最大值的求法，考查兩線段比值為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的第二定義、點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

實(shí)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，那么關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（　�。�
A、一定沒有實(shí)根
B、一定有兩個(gè)相同的實(shí)根
C、一定有兩個(gè)不相同的實(shí)根
D、以上三種情況都可能出現(xiàn)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f（x）=
2
3
x3+2x2+ax+a2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，求f（x1）+f（x2）的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=mx3-3x+4，m∈R．
（Ⅰ）已知f（x）在區(qū)間（m，+∞）上遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，2≤f（x）≤6恒成立，求m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其長軸長是短軸長的2倍，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為1．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M（1，
1
4
），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，求△ABA′的外接圓方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，2a-aln4a2≤1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2
2
，底面ABCD是菱形，
且∠ABC=60°，E為CD的中點(diǎn)．
（1）證明：CD⊥平面SAE；
（2）側(cè)棱SB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面SAE？并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=
4
3
，（4n-1）an=3•4n-1Sn．
（Ⅰ）求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=
n
3an
，若Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求
lim
n→∞
Tn的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB）為平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，其中xA，yA，xB，yB∈Z．令△x=xB-xA，△y=yB-yA，若|△x|+|△y|=t（t∈Z），且|△x|•|△y|≠0，則稱點(diǎn)B為點(diǎn)A的“t-相關(guān)點(diǎn)”，記作：B=[ω（A）]t．已知P0（x0，y0）（x0，y0∈Z）為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面上點(diǎn)列{Pi}滿足：Pi=[ω（Pi-1）]t，且點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為（xi，yi），其中i=1，2，3，…，n．給出以下判斷，其中正確的是
 

①若點(diǎn)M為點(diǎn)A的“t-相關(guān)點(diǎn)”，則點(diǎn)A也為點(diǎn)M的“t-相關(guān)點(diǎn)”．
②若點(diǎn)M為點(diǎn)A的“t-相關(guān)點(diǎn)”，點(diǎn)N也為點(diǎn)A的“t-相關(guān)點(diǎn)”，則點(diǎn)M為點(diǎn)N的“t-相關(guān)點(diǎn)”．
③當(dāng)t=3時(shí)，P0的相關(guān)點(diǎn)有8個(gè)，且這8個(gè)點(diǎn)可能在一個(gè)圓周上，也可能不在一個(gè)圓周上；
④當(dāng)t=3時(shí)，P0與Pn重合，則n一定為偶數(shù)．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案