已知曲線C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R），直線l：y=kx+b（k，b∈R，kb≠0）與曲線C交于不同兩點M、N，直線l與x軸交于點P．
（1）若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（2）若m=4．
①設b=2，若x軸上有一定點F（2，0），記△MNF的面積為S（k），求S（k）的最大值；
②設b=2k，若點T在x軸上，且|TM|=|TN|．
求證：
|PT|
|MN|
為定值．
考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）方程可改寫為
x2
8
5-m
+
y2
8
m-2
=0，由橢圓的焦點在x軸上，得
7
2
＜m＜5．
（2）①m=4時，曲線C即為橢圓
x2
8
+
y2
4
=0，直線l與x軸交點為P（-
b
k
，0）．△MNF的面積S（k）=
1
2
|PF|•|yM-yN|=
1
2
|-
2
k
-2|•|2-
2-4k2
1+2k2
|，由此能求出S（k）的最大值為2+2
3
．
②b=2k時，點P（-
b
k
，0）即為P（-2，0）恰為橢圓C的左焦點．設M（x1，y1），N（x2，y2），MN中點為Q（x0，y0），利用橢圓的第二定義、點差法結合已知條件能證明
|TP|
|MN|
=
x0+4
2
2
|x0+4|
=
2
4
為定值．
解答： （1）解：曲線C表示橢圓，則5-m＞0，m-2＞0，
此時方程可改寫為
x2
8
5-m
+
y2
8
m-2
=0，
又因為橢圓的焦點在x軸上，
所以
8
5-m
＞
8
m-2
＞0，
解得
7
2
＜m＜5．…（4分）
（2）①解：m=4時，曲線C即為橢圓
x2
8
+
y2
4
=0，
其左右焦點的坐標分別為（-2，0）、（2，0）．
由kb≠0，知k≠0，所以y=kx+b中，令y=0，得x=-
b
k
，
故直線l與x軸交點P的坐標為P（-
b
k
，0）．
b=2時，由
y=kx+2
x2
8
+
y2
4
=1
，得
x1=0
y1=2
或
x2=
-8k
1+2k2
y2=
2-4k2
1+2k2
，
從而橢圓C與直線l的交點M和N的坐標分別為：
M（0，2），N（
-8k
1+2k2
，
2-4k2
1+2k2
）或M（（
-8k
1+2k2
，
2-4k2
1+2k2
），N（0，2）．…（6分）
所以△MNF的面積S（k）=
1
2
|PF|•|yM-yN|=
1
2
|-
2
k
-2|•|2-
2-4k2
1+2k2
|，…（8分）
即S（k）=
8|k2+k|
1+2k2
．令t=
k2+k
1+2k2
，則關于k的二次方程（2t-1）k2-k+t=0有實數(shù)根，
所以當t≠
1
2
時，△=（-1）2-4（2t-1）t≥0，
解得
1-
3
4
≤t≤
1+
3
4
，且t=
1
2
也在此范圍內，
特別地當k=
1+
3
2
時，t=
1+
3
4
．
故S（k）=
8|k2+k|
1+2k2
=8|t|的最大值為2+2
3
． …（10分）
②證明：b=2k時，點P（-
b
k
，0）即為P（-2，0）恰為橢圓C的左焦點．
設M（x1，y1），N（x2，y2），MN中點為Q（x0，y0），
x軸上點T坐標為（t，0），則x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，
直線l的斜率k=
y1-y2
x1-x2
．
由P為左焦點，結合橢圓的第二定義得，
|MN|=|MP|+|NP|
=（
8
+
8-4
8
x1）+（
8
+
8-4
8
x2）
=4
2
+
1
2
(x1+x2)=
2
(4+x0)．…（12分）
由|TM|=|TN|知，T（t，0）在MN的垂直平分線，
即直線y-y0=-
1
k
（x-x0）上，
所以0-y0=-
1
k
（t-x0），（*）
將M（x1，y1），N（x2，y2）代入橢圓C方程，
得
x12+2y12=8
x22+2y22=8
，兩式作差并整理得：
(x1+x2)+
2(y1-y2)
x1-x2
(y1+y2)=0，
即有x0+2ky0=0，
與（*）式聯(lián)立解得t=
x0
2
，
所以|TP|=|t-xP|=|
x0
2
-(-2)|=
x0+4
2
，…（15分）
故
|TP|
|MN|
=
x0+4
2
2
|x0+4|
=
2
4
為定值．…（16分）
點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查三角形面積的最大值的求法，考查兩線段比值為定值的證明，解題時要認真審題，注意橢圓的第二定義、點差法的合理運用．
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相關習題

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實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，那么關于x的方程ax2+bx+c=0（　�。�
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C、一定有兩個不相同的實根
D、以上三種情況都可能出現(xiàn)

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已知a∈R，函數(shù)f（x）=
2
3
x3+2x2+ax+a2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
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x2
a2
+
y2
b2
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1
4
），點A關于x軸的對稱點為A′，求△ABA′的外接圓方程．

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證明當a∈（0，+∞）時，2a-aln4a2≤1．

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2
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（2）側棱SB上是否存在點F，使得CF∥平面SAE？并證明你的結論．

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4
3
，（4n-1）an=3•4n-1Sn．
（Ⅰ）求數(shù)列{Sn}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=
n
3an
，若Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求
lim
n→∞
Tn的值．

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①若點M為點A的“t-相關點”，則點A也為點M的“t-相關點”．
②若點M為點A的“t-相關點”，點N也為點A的“t-相關點”，則點M為點N的“t-相關點”．
③當t=3時，P0的相關點有8個，且這8個點可能在一個圓周上，也可能不在一個圓周上；
④當t=3時，P0與Pn重合，則n一定為偶數(shù)．

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