Question

設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）為平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，其中x_A，y_A，x_B，y_B∈Z．令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A，若|△x|+|△y|=t（t∈Z），且|△x|•|△y|≠0，則稱點(diǎn)B為點(diǎn)A的“t-相關(guān)點(diǎn)”，記作：B=[ω（A）]_t．已知P₀（x₀，y₀）（x₀，y₀∈Z）為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面上點(diǎn)列{P_i}滿足：P_i=[ω（P_i-1）]_t，且點(diǎn)P_i的坐標(biāo)為（x_i，y_i），其中i=1，2，3，…，n．給出以下判斷，其中正確的是

 

①若點(diǎn)M為點(diǎn)A的“t-相關(guān)點(diǎn)”，則點(diǎn)A也為點(diǎn)M的“t-相關(guān)點(diǎn)”．
②若點(diǎn)M為點(diǎn)A的“t-相關(guān)點(diǎn)”，點(diǎn)N也為點(diǎn)A的“t-相關(guān)點(diǎn)”，則點(diǎn)M為點(diǎn)N的“t-相關(guān)點(diǎn)”．
③當(dāng)t=3時(shí)，P₀的相關(guān)點(diǎn)有8個(gè)，且這8個(gè)點(diǎn)可能在一個(gè)圓周上，也可能不在一個(gè)圓周上；
④當(dāng)t=3時(shí)，P₀與P_n重合，則n一定為偶數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：推理和證明

分析：①由新定義和加法的交換律，即可判斷；
②可舉點(diǎn)A（0，0），M（1，2），N（2，1），對(duì)照定義加以判斷；
③比如P₀（0，0），則列舉出所有的相關(guān)點(diǎn)，并判斷它們都在同一個(gè)圓周上；
④從反面考慮，若n為奇數(shù)，比如n=1，顯然不成立；n=3，可舉P₀（0，0），P₁（1，2），P₂（4，2），
P₃（0，0），由定義即可加以判斷．

解答： 解：①由新定義和加法的交換律，即可知①正確；
②可舉點(diǎn)A（0，0），M（1，2），N（2，1），則點(diǎn)M為點(diǎn)A的“3-相關(guān)點(diǎn)”，點(diǎn)N也為點(diǎn)A的“3-相關(guān)點(diǎn)”，但點(diǎn)M為點(diǎn)N的“2-相關(guān)點(diǎn)”，故②錯(cuò)；
③當(dāng)t=3時(shí)，P₀的相關(guān)點(diǎn)有8個(gè)，比如P₀（0，0），則相關(guān)點(diǎn)有（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，2），（2，1），（-2，1），（2，-1），（-2，-1）共8個(gè)，它們?cè)谝粋�(gè)圓周上，故③錯(cuò)；
④當(dāng)t=3時(shí)，P₀與P_n重合，若n為奇數(shù)，比如n=1，顯然不成立；n=3，可舉P₀（0，0），P₁（1，2），P₂（4，2），
P₃（0，0），則點(diǎn)P₁為點(diǎn)P₀的“3-相關(guān)點(diǎn)”，點(diǎn)P₂也為點(diǎn)P₁的“3-相關(guān)點(diǎn)”，但點(diǎn)P₃為點(diǎn)P₂的“6-相關(guān)點(diǎn)”，
故n一定為偶數(shù)，即④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義及理解運(yùn)用，注意運(yùn)用列舉法，或從反面考慮，同時(shí)考查簡(jiǎn)單的合情推理，是一道中檔題．