Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=

2

3

x³+2x²+ax+a²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）存在兩個極值點x₁、x₂，求f（x₁）+f（x₂）的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）存在兩個極值點，可得a＜2，利用x₁、x₂是函數(shù)f（x）的兩個極值點，可得x₁+x₂=-2，x1x2=

a

2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=2x²+4x+a，△=16-8a．
當a≥2時，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
當a＜2時，f（x）在(-∞，

-2- 4-2a

2

)和(

-2+ 4-2a

2

，+∞)上是增函數(shù)；
在(

-2- 4-2a

2

，

-2+ 4-2a

2

)上是減函數(shù)．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）存在兩個極值點，∴△=16-8a＞0，
∴a＜2．
又∵x₁、x₂是函數(shù)f（x）的兩個極值點，∴x₁+x₂=-2，x1x2=

a

2

．
∴f（x₁）+f（x₂）=

2

3

(

x

3 1

+

x

3 2

)+2(

x

2 1

+

x

2 2

)+a(x1+x2)+2a2
=

2

3

(

x

1

+

x

2

)[(

x

1

+

x

2

)2-3x1x2]+2[(

x

1

+

x

2

)2-2x1x2]+a(x1+x2)+2a2
=

2

3

(-2)(4-

3a

2

)+2(4-a)-2a+2a2=2a2-2a+

8

3

=2(a-

1

2

)2+

13

6

．
∵a＜2，∴f(x1)+f(x2)≥

13

6

．

點評：本題的考點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值問題．屬于中檔題．